数学：Claude 和 OpenAI 的人工智能模型证明了一个著名假设是错误的，这改变了什么？

10月16日，在两个多年来一直进行商业战争的实验室里，两个人工智能发现了同一件事。同一天。彼此没有交流。OpenAI的人工智能和Anthropic 的 Claude的一个研究模型，都推翻了一个计算机科学数百篇研究论文建立在其上的假设。两项公告在10月26日发布，相隔只有几个小时。

这下我可真没想到会这样。说真的，这正是我几个月来一直在等的那种新闻：不是一个人工智能更快地重复我们早就知道的东西，而是一个人工智能发现了某种这个领域最顶尖的专家都以为不可能的东西。

两台电脑，一个被划掉的假设

这个假设到底是什么？

它叫指数时间假设，熟人都叫它 ETH。这个名字听起来吓人，想法其实很简单，我用一场婚礼给你解释一下。

你得安排座位表。每位宾客要么坐 A 桌，要么坐 B 桌。而家里人有一些要求，每条要求都涉及三个人，比如：「Josiane 坐 A 桌，或者 Gérard 坐 B 桌，或者 Kevin 坐 A 桌，三件事里至少有一件必须为真」。你有一百位宾客，还有几百条这种要求。问题是：有没有一个能让所有人满意的安排？

这个难题在计算机科学家那里有个名字，叫 3-SAT，它之所以出名，是因为现实世界里一大堆问题都可以归结到它：学校的课表、送货员的路线、电子芯片的验证。最蛮力的方法就是把所有安排都试一遍。一百位宾客大约有一千亿亿亿种可能的安排。一台每秒能测试十亿种安排的电脑，要花将近宇宙年龄的三千倍！

3-SAT 问题，家庭聚餐版

研究人员后来找到了更聪明的方法，但它们仍然属于同一个家族：每增加一位宾客，计算时间就会乘以一个固定的数，按照 Anthropic 的论文，依照目前已知的最佳方法，这个数大约是 1.3。这就是指数增长。而 ETH 是 Russell Impagliazzo、Ramamohan Paturi 和 Francis Zane 在20世纪90年代末提出的，它大致上说：我们永远不可能做得比这更好。不存在什么根本性的捷径。

除非有。两个人工智能都找到了一个方法，它的耗时增长速度低于任何指数增长。至少按照它们的说法，ETH 是假的。

这是不是意味着一切都会变快？

不是。而且 Anthropic 自己在结果介绍中把话写得清清楚楚：「这个结果纯粹是渐近意义上的，并没有说明实际如何求解这些公式」。渐近的意思是，只有当问题规模大得离谱，远远超过人类有朝一日会制造出的任何问题时，这个优势才会出现。

你的 GPS 不会因此更快找到路线，你孩子学校用来排课的软件也不会。这些程序靠的是工程师的技巧，不是这种定理。而且你银行的加密也不依赖这个假设，所以这一边什么都不会垮。

垮掉的是别的东西。二十五年多来，研究人员一直把 ETH 当作地基：「如果 ETH 为真，那么某个问题就必然很慢」。数百篇论文都是这样运作的。如果地基松了，所有这些结论就重新变成开放问题。对理论计算机科学家来说，这有点像得知标准米尺其实只有98厘米。

1400万个 tokens，没有任何人类

Anthropic 在文章中给出了精确的细节：这个算法是在 10 月 16 日由一个内部 Claude 模型找到的，一共生成了 1400 万个 token，而且“没有任何人工干预”。一个 token 就是一小块单词，大约是四分之三的单词。1400 万个 token，也就是大约一千万个草稿单词，相当于一口气写下一百来部小说，只为得到一个想法。Anthropic 的研究人员只帮它把文章整理得容易读一些，最后成稿 49 页。

我当然算过了。Opus，也就是我每天在 Claude Code 里使用的模型，按 Anthropic 的公开价格，每生成一百万个 token 收费 25 美元。1400 万个 token，那就是大约 350 美元。相当于一辆电动滑板车的价格，却推翻了二十五年的确定认知！好吧，内部模型不是 Opus，而且 Anthropic 没有说实际花了多少钱，但这个数量级还是让人头晕。

1400 万个 token，大致就是这一摞草稿

OpenAI 也宣布了同一个日期，10 月 16 日，作为他们自己的模型找到结果的日期。在 Claude 发布之前读过其证明的 Jelani Nelson 教授写道，看起来这些模型确实在同一天得到了结果，而且两份证明的速度大致相同。Anthropic 在文章中也写到了这一点：OpenAI 声称“独立地、同时地”得到了类似的结果。

最后一个值得注意的细节：两份证明都用 Lean 做了验证。这是一种证明验证软件，有点像一个偏执的批改员，拒绝任何没有依据的步骤。在 Anthropic 那边，完整验证在 24 个处理器上运行需要 8 分钟。这并不能保证一切都没问题（还得确认 Lean 验证的东西确实就是文章声称的东西），但这和“请相信我”相去甚远。

而 OpenAI 同一天还拿出了另外两个结果

好像这还不够似的，OpenAI 在同一则公告中又发表了另外两个证明。

第一个涉及 Kakeya 猜想。猜想就是一种大家都认为是真的说法，却从来没人成功证明过。这个猜想源自 1917 年的一道谜题，由日本数学家 Sōichi Kakeya 提出：一根平放的针，要在什么最小的面积里转一整圈？这是在一条太窄的小巷里开车掉头的数学家版本。现代版本把桌子换成了空间：如果一根棍子必须能够指向所有方向，它至少需要多少空间？Hong Wang 和 Joshua Zahl 在 2025 年解决了三维空间的情况，而 Hong Wang 也因此在今年夏天获得了菲尔兹奖，相当于数学界的诺贝尔奖。OpenAI 声称一次性解决了所有情况，包括四维、五维甚至一百维空间，而只有数学家才知道该怎么操作这些空间。

Kakeya 问题从一个转向问题开始

第二个来自物理学。OpenAI 说，他们以数学家的严谨性证明了杨米尔斯理论是站得住脚的。这是物理学家用来描述把夸克粘在一起的那种力的工具，夸克是组成每个原子核心的微小颗粒。物理学家已经用了七十年，却从来没人证明过它是自洽的。而且它还是七个“千禧年大奖难题”中的一个组成部分，这些难题由克雷数学研究所悬赏一百万美元。只是其中一部分：最难的那一块，也就是能拿到那一百万美元的部分，仍然没有解决。

这件事上，我就更保留一点。这份证明还没有公开。OpenAI 把它交给了由诺贝尔奖得主 David Gross 带领的一组物理学家，他们更愿意先自己把工作写出来，再拿给别人看。一个关注人工智能研究成果的数学家委员会冷冷地回应说，没有“任何科学理由”再等下去。而且背后还有一段有点残酷的故事：Anthropic 的员工 Levent Alpöge 和西北大学数学家 Ethan Sussman，正在一个代码分享网站上公开完成一份老的证明程序，这份程序是物理学家 Tadeusz Balaban 在 1980 年代末留下的。他们以为自己就要成功了。OpenAI 的公告似乎在终点线上超过了他们。

好吧，那这对你来说有什么改变？

明天早上，什么都不会发生。你家里的任何设备都不会因此换一种方式运行，而且这个结果也许永远不会直接影响你的生活。

改变的是发现者是谁。不到三周前，我还在讲OpenAI解决了372个没人理解的数学问题。这次换了个类别：这不再是一个被遗忘在角落里的问题，而是一个整个领域都认为是真的假设，而且两台不同的机器在同一天推翻了它。如果这种情况在化学或医学领域重复出现，出现在那些我们以为已经解决的问题上，那么数年的研究将以周来计算。

还有一个让我忍不住微笑的先例。1976年，Kenneth Appel和Wolfgang Haken让一台电脑运行了数百个小时，证明了四色定理（任何地图都可以用四种颜色来着色，同时保证相邻的两个国家颜色不同）。很多数学家对此皱起了眉头：一份任何人都无法重新审阅的证明，真的算证明吗？将近三十年后，也就是2005年，Georges Gonthier让一种和Lean同类的软件完整验证了它，从此再也没人争论。我们正好处在同一个位置，只是速度加快了。

四种颜色就够了，而且是电脑在1976年证明了这一点

现在说说期限。要知道ETH是否真的死了，还需要几个月。MIT的Ryan Williams，以及这一假设的两位提出者Impagliazzo和Paturi，已经同意在没有保密协议且没有报酬的情况下，核查并解释OpenAI的结果。他们自己也提醒说，他们的参与“不得被视为认证”。但他们补充说：如果这是正确的，它将改变理论计算机科学中一个重要的部分。OpenAI方面则表示不要求学术功劳，并向Simons基金会捐赠了500万美元，用于组织有关人工智能产生的结果的会议。

对我来说，这是人工智能不再只是比我们更快地做作业，而是开始批改我们作业的那一天。至于Impagliazzo和Paturi，他们在1999年提出了这个假设，接下来的几个月却要花时间确认一台机器确实把它推翻了：向你们致敬，逐行重读自己的失败，需要相当大的勇气！

来源

文章在Claude Code的帮助下写成，由我审阅和修正。

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30-10-2026